Методи проектування.



Проекційне креслення вивчає способи побудови на площині зображення предметів, що мають три виміри. За допомогою цих зображень студент повинен вміти відтворити форму предмета, його величину і положення.

Перед тим, хто вивчає курс креслення, стоїть принаймні дві основні задачі:

1.Навчитися за певними законами будувати креслення різних предметів.

2.Уміти читати креслення будь-якого виробу або деталі.

Для побудови зображень предметів користуються методом проектування, тобто відкинутим його зображенням на площину.

Отже проекція – це зображення предмета (відкинуте) на площину за допомогою проектуючих променів. Спроектувати пре­дмет – це означає зобразити його на площині.

Проекції поділяють на центральні і паралельні.

Ідею центрального проектування видно з рис. Точка S, з якої виходять проектуючи промені, називається центром проекцій. Площина П1, на яку проектується предмет, називається площиною проекцій. Проектований трикутник АВС називається оригіналом.

Щоб спроектувати трикутник, треба з центра проекцій S проектуючи промені через вершини трикутника АВС до перетину з площиною проекцій П1.Точки перетину А1, B1, C1, називаються центральними проекціями вершин A, B, C, а спроектований трикутник А1В1С1 - центральною проекцією трикутника АВС.

Недоліком центрального проектування являється те, що ми не можемо зафіксувати дійсну величину нашого предмета – тому центральні проекції застосовують в архітектурно-будівельній справі, у малюванні тощо.

У кресленні користуються методом паралельного проектування. Умовна точка S знаходиться в нескінченому просторі і тому проектуючи промені також умовно вважаються паралельними і перпендикулярними до площини П1, а отримана проекція трикутника А1В1С1 є паралельною проекцією трикутника АВС .





Питання для самоконтролю.

1. У чому полягає суть центрального проектування?

2. У чому полягає суть паралельного проектування?

3. На які види поділяють паралельні проекції?





Тема 5. Точка та пряма.

План.

1. Проектування точки на три площини проекцій.

2. Комплексне креслення точки.

3. Виміри і координати точки.

4. Побудова проекцій точки за її координатами.

5. Різні положення точок у просторі відносно площин проекцій.

6. Побудова третьої проекції точки за двома її проекціями.

7. Читання комплексного креслення точки.

8. Проектування прямої на три площини проекцій.

9. Положення прямої відносно площин проекцій.

10. Пряма і точка.

11. Взаємне розташування прямих у просторі.



1. Проектування точки на три площини проекцій.



Точка – основний геометричний елемент лінії і площини, тому, навчившись проектувати точку ми зможемо проектувати любий предмет.

Одна прямокутна проекція точки не визначає її положення в просторі тому що на одному перпендикулярі може знаходитись безліч точок і щоб мати повну уяву про них необхідно мати дві або три площини проекцій. Скористаємось трьома взаємно перпендикулярними площинами, що утворюють прямий тригранний кут (рис. 147 а). Тут П1 – горизонтальна, П2 – фронтальна і П3 –профільна площини проекцій. Розмістимо в просторі тригранного кута точку А (рис. 147 б) і побудуємо її проекції на площини П1, П2, П3. Для цього з точки А проведемо проектуючі промені АА1, АА2, АА3. На перетині цих перпендикулярів дістанемо А1 – горизонтальна, А2 – фронтальна, А3 – профільна проекції точки А.



а) б)

Рис. 147



2. Комплексне креслення точки.



Від просторового зображення точки переходять до плоского або комплексного креслення, яке утворюється в наслідок обертання площин проекцій навколо осей, вважаючи тригранний кут розщепленим по осі Оу і залишаючи нерухомою площину П2, площину П1 повертають на 90° вниз навколо осі Ох, а площину П3 на 90° навколо осі Оz (рис. 148 а). Таким чином утвориться плоске креслення разом з побудованими на них проекціями А1, А2, А3- називається комплексним кресленням. Для побудови профільної проекції А3 використовують постійну лінію К, яка проводиться під кутом 45° (рис.148 б).



а) б)

Рис. 148





3. Виміри і координати точки.



У просторі є безліч точок, що займають різне положення відносно площин П1, П2, П3. Наприклад піраміда і зрізаний паралелепіпед (рис. 149), які мають 13 вершин, кожна із цих точок займає своє положення, яке буде характеризуватись трьома вимірами.



Рис. 149

1. Висота - це відстань від осі Х вверх по осі Z.

2. Ширина - це відстань від центра осей по осі Х.

3. Глибина - це відстань від фронтальної площини проекцій вниз по осі У (рис. 150).





Рис. 150



4. Побудова проекцій точки за її координатами.

Дуже часто виявляється зручним задавати положення точки в просторі її прямокутними координатами. Розглянемо на прикладі, побудову проекцій точки за її координатами. Задано точку А (25, 15, 20), тобто координата х=25 мм, у=15 мм, z=20 мм. Треба побудувати комплексне креслення точки А в системі трьох площин проекцій.

Проводять осі Ох, Оу, Оz. Від центра осей по осі Ох відкладають координату х = 25 мм. і через знайдену точку Ах проводять вертикальну лінію зв’язку. На цій лінії вниз від Ах відкладають координату у = 15 мм і дістають горизонтальну проекцію А1, а вгору відкладають координату z = 20 мм і дістають фронтальну проекціюА2. Профільну проекцію точки А, можна знайти за допомогою постійної лінії К або за допомогою циркуля як показано на рис. 148 б.



5. Різні положення точок у просторі відносно площин проекцій.

Якщо ми розглянемо рис. 149, де піраміда і зрізаний паралелепіпед своїми основами лежать на горизонтальній площині проекцій П1, тоді точки їхніх вершин займають різні положення. Одні з них розміщені в просторі, другі безпосередньо лежать на площинах проекцій на осях тощо.

Отже точки, які доведеться проектувати можуть займати вісім основних положень.

1. Точка розташована в просторі (рис. 151). Тоді вона задана трьома координатами жодна з них не дорівнює нулю. Проекції такої точки будуть знаходитись на відповідних площинах проекцій.



Рис. 151



2. Точка лежить на одній із площин проекцій - П1, П2, П3 (рис. 152). У цьому випадку одна із координат дорівнює нулю. В залежності, яка із координат дорівнює нулю точка може лежати на площині П1, П2, П3. З рис. 152 видно, що для точки А координата z = 0. Тоді горизонтальна проекція А1 співпадає із самою точкою, фронтальна проекція А2 знаходиться на осі х, а профільна проекція А3 на осі у. (Самостійно розгляньте і поясніть положення точок В і С).





Рис. 152



3. Точка лежить на одній із осей - Ох, Оу, Оz (рис. 153). Тоді дві її координати дорівнюють нулю.

З рис. 153 видно, що координати у і z точки А дорівнюють нулю. Тоді точка А знаходиться на осі х і її горизонтальна і фронтальна проекції збігаються з точкою, а профільна проекція знаходиться в центрі координат. (Самостійно розгляньте і поясніть положення точок В і С).







Рис. 153

6. Побудова третьої проекції точки

за двома її проекціями.

Побудова третьої проекції точки за двома відомими, найчастіша умова рішення задач у кресленні. Це можна зробити трьома способам:

1. Проекційний спосіб (рис. 154).

Із фронтальної проекції А2 проводять горизонтальну лінію зв’язку. З горизонтальної проекції А1 опускають перпендикуляр на вісь Оу, дістають точку Ау1 і за допомогою циркуля або рівнобедреного трикутника знаходять точку Оу3 положення точки Ау3. З цієї точки проводять вертикальну лінію зв’язку до перетину з горизонтальною лінією, проведеною з А2. Точка А3 і буде профільною проекцією точки А.





Рис. 154

2.Координатний спосіб (рис. 155).

Із фронтальної проекції А2 проводять горизонтальну лінію зв’язку. Вимірюють циркулем відстань від проекції А1 до осі Ох (глибину точки, або координату у) і відкладають цей відрізок на лінії зв’язку праворуч від точки Аz. Дістають профільну проекцію А3.





Рис. 155

3.Спосіб з використанням постійної прямої креслення (рис. 156).

З центра координат під кутом 45° проводимо постійну лінію креслення К фронтальної проекції А2 проводять горизонтальну лінію зв’язку. З горизонтальної проекції А1 проводять горизонтальну лінію зв’язку до перетину в точці А0 з постійною прямою К, тобто з бісектрисою кута у1Оу3. З точки А0 проводять вертикальну лінію зв’язку до перетину з лінією, проведеною з фронтально проекції А2.








Рис. 156

Перевагу слід надавати другому і третьому способам, які потребують меншої кількості ліній побудови.



7. Читання комплексного креслення точки.

До читання можна включити розв’язання таких завдань:

а) знаходження третьої проекції за двома заданими;

б) визначення координат і положення точки відносно площин;

в) побудова аксонометричного зображення точки за комплексним кресленням;

г) аналіз взаємного розташування кількох точок відносно площин проекцій;





Рис. 157

На рис.157 задано проекції точок А і В. Ці точки розташовані в просторі, бо жодна з координат не дорівнює нулю. З рисунка бачимо, що широта точки А більша за широту точки В, бо відрізок ОАх більший за відрізок ОВх. Отже точка А лежить далі від площини проекцій П3, ніж точка В. Глибина точок А і В однакова, бо координати у (відрізки А1Ах і В1Вх ) рівні. Звідси випливає, що ці точки однаково віддалені від площини проекцій П2. Висота точок різна. Точка В лежить вище від площини проекцій П1 на величину В2В0.



Проектування прямої лінії.

8. Проектування прямої на три площини проекцій.

Пряма в просторі безмежна. Обмежену частину прямої називають відрізком.

Проектування прямої зводиться до побудови проекцій будь-яких двох її точок, бо дві точки в просторі повністю визначають положення прямої в просторі.

· Коли з крайніх точок відрізка АВ розташованого в просторі опустити перпендикуляри на площину П1 і з'єднаємо однойменні проекції прямою лінією то отримаємо горизонтальну проекцію відрізка АВ. Опустивши перпендикуляри на площину П2 і відповідно з'єднаємо їх між собою отримаємо фронтальну проекцію відрізка АВ. Для побудови третьої проекції прямої за двома відомими можна використати ті самі способи, що й для побудови третьої проекції точки (рис.154-156)





9. Положення прямої відносно площин проекцій.

На рис.158 зображено паралелепіпед із зрізаною передньою верхньою вершиною і довільну трикутну піраміду. Ребра паралелепіпеда і піраміди займають різні положення в просторі відносно площин проекцій. Щоб будувати і читати креслення, треба вміти аналізувати різні положення прямої в просторі.



Рис. 158

Відносно площин проекцій пряма може займати безліч положень. Ці положення можна систематизувати і розділити на прямі окремого і загального положення.

Прямі окремого положення поділяються на проектуючі прямі і прямі рівня.

Проектуючою прямою називають пряму, яка перпендикулярна до однієї площини проекцій і паралельна до двох інших

На рис.159 а пряма АВ перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій і називається горизонтально проектуючою прямою, пряма СD (рис.159 б) перпендикулярна до фронтальної площини проекцій і називається фронтально проектуючою, пряма MN (рис. 159 в) перпендикулярна до профільної площини проекцій і називається профільно проектуючою прямою.



а) б) в)

Рис. 159





Основні властивості проектуючої прямої.

На одну із площин проекцій проектуюча пряма проектується в точку, а на дві інших у вигляді відрізків, які займають вертикальне або горизонтальне положення і величина яких дорівнює натуральній величині відрізка прямої.

Прямими рівня називають прямі, паралельні одні із площин проекцій.

Пряма АВ (рис. 160 а) паралельна до горизонтальної площини проекцій і називається горизонтальною прямою, пряма CD (рис. 160 б) паралельна фронтальній площині проекцій і називається фронтальною прямою, пряма MN (рис. 160 в) паралельна профільній площині проекцій і називається профільною прямою.





а) б) в)

Рис. 160





Прямою загального положення називають пряму, розташовану похило до всіх площин проекцій (рис. 161).



Рис. 161

Жодна проекція цієї прямої не може бути паралельною осям проекцій або перпендикулярною до них і не зображується в натуральну величину.





10. Пряма і точка.

Якщо точка лежить на прямій, то її проекції лежать на одно іменних проекціях прямої і на спільній лінії зв’язку.

Розгляньте і проаналізуйте положення точки С відносно прямої АВ (рис. 162).



Рис. 162



11. Взаємне розташування прямих у просторі.

Дві прямі в просторі одна відносно одної можуть бути взаємно паралельні, перетинатись і бути мимобіжними.

Паралельні прямі.

Якщо, прямі в просторі паралельні, то їх однойменні проекції, на будь-яку площину, також є паралельними.

Так однойменні проекції паралельних прямих загального положення (рис. 163) паралельні між собою, тобто А1В1 || С1D1, А2В2II C2D2



а) б) в) г)

Рис. 163



Прямі, що перетинаються.

Якщо прямі в просторі перетинаються, то на комплексному кресленні їх однойменні проекції перетинаються і точки перетину лежать на одній лінії зв’язку (рис. 164).

Точка перетину на горизонтальній проекції К1 лежить на одному перпендикулярі з точкою К2 на фронтальній проекції.



а) б) в)

Рис. 164

Мимобіжні прямі.

Якщо дві прямі в просторі не паралельні і не перетинаються, то такі прямі називаються мимобіжними (рис. 165).

Точки перетину однойменних проекцій цих прямих не лежать на одній лінії проекційного зв’язку .



Рис. 165



Питання для самоконтролю.



1. Як називають і як позначають три основні площини проекцій?

2. Як позначають осі проекцій?

3. Які виміри, або координати, має точка, що лежить в просторі? Що лежить на площині проекцій П3? Що лежить на осі проекцій Оу?

4. Якими способами можна побудувати третю проекцію точки за двома її відомими?

5. Які способи знаходження третьої проекції прямої ви знаєте ?

6. Основні властивості проектуючої прямої.

7. Основні властивості прямої рівня.

8. Яке взаємне положення можуть займати дві прямі в просторі?


Тема 6. Проектування площини.

План.

1. Зображення площини на комплексному кресленні.

2. Положення площини відносно площин проекцій.

3. Пряма і точка, що лежать у площині.

4. Головні лінії площини.

5. Взаємне розташування площин.

6. Пряма паралельна площині.

7. Перетин прямої з площиною.



1. Зображення площини на комплексному кресленні.

З елементарної геометрії відомо, що через будь-які три точки, які не лежать на одній прямі, можна провести площину і притому тільки одну. Отже на комплексному кресленні площину можна зобразити проекціями геометричних елементів, що повністю визначають її положення в просторі, а саме:



а) трьох точок, що не лежать на одній прямі (рис. 166 а)

б) прямої і точки, розташованої поза нею (рис. 166 б)

в) двох прямих, що перетинаються (рис. 166 в)

г) двох паралельних прямих (рис. 166 г)

д) трикутника, або іншої геометричної фігури (рис. 166 д)

З рисунків бачимо, що від одного виду зображення площини легко перейти до іншого. Так, щоб перейти від зображення площини прямою і точкою до зображення її трикутником, треба тільки сполучити точку з кінцями відрізка прямої.